欧几里得和他的《几何原本》
如果要从人类科学发展史中选一部开山鼻祖的巅峰巨作，非欧几里得的《几何原本》莫属。自成书两千多年以来，一直流传至今，经久不衰。它是第一本向人们展示了数学推理，归纳演绎的极致著作。它不仅奠定了几何学的基础，也是西方数学和哲学的集大成之作。
明朝末期的徐光启——《几何原本》传入中国的首位译者，在评论该书时说：“此书为益能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”它在人类科学的发展史上影响了不计其数的科学巨匠，笛卡尔，费马，高斯等等，甚至牛顿的《自然哲学的数学原理》都是参照《几何原本》的格式来写的。
徐光启译《几何原本》
那么，如此光辉巨著在两千三百多年前是如何诞生的呢？这要从一个传奇人物说起：毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯生活在约公元前580年至约公元前500年间，和孔子，老子，释迦牟尼生活在同一时代。在人类科学史上，他被认为是希腊传统数学和哲学的创始人。如同孔子创立了儒教，释迦牟尼创立了佛教，毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯派。该派教义众多，其中根本性的一条便是：宇宙万物都是由整数统治的。这条教义在今天看来，显得有点离谱；但在两千五百年前的时代无疑是非常先进的。该派对数学领域贡献众多，比如提出了完全数，质数和合数的概念，而最著名的是毕达哥拉斯定理：a^2+ b^2 = c^2——在中国的教科书上称之为“勾股定理”，出自《周髀算经》。
勾股定理
有了毕达哥拉斯定理，问题就来了：
很显然不是一个整数，也不是一个成比例的分数，那它会是一个什么样的数？现在我们都知道它是一个无理数，而那个时代的人确无法用语言描述。
传说第一个发现无理数的人叫斯帕索斯，是毕达哥拉斯派的一员，被沉入大海中溺亡，因为他的发现违反了毕达哥拉斯派的教义：宇宙万物都是由整数统治的。
似乎数学领域的每一次扩充都伴随着一场纷争，从无到零的出现， 从整数到负数，从有理数到无理数，从实数到虚数，从复数到汉密尔顿的四元数都无一例外。但不可否认的是，每一次对数域的扩充，都使得人类对宇宙的认识更近了一步。
毕达哥拉斯派对古希腊的数学研究影响巨大，因为教义的狭隘性，使得古希腊人对数学基础的研究小心翼翼，就连三四百年后的阿基米德在论证或描述定理时都会优先考虑选用几何方式，而不是数学公式。也正是如此，几何图形成了古希腊数学家们的主要研究对象。
自毕达哥拉斯派之后，古希腊经历了柏拉图和亚里斯多德时代，柏拉图学园和亚里士多德学园的创建，使得古希腊的雅典成为了地中海文明的中心，这一时期也是古希腊数学发展的黄金时代。
柏拉图崇尚数学，其学园门口立牌写明：不懂几何者，不得入内。亚里士多德是柏拉图的学生，在数学和哲学上都是大师；他所创立的形式逻辑，给数学的系统化和公理化提供了理论和方法基础。
到了公元前4世纪，希腊几何学已经积累了大量的知识，逻辑学理论渐臻成熟，公理化和系统化更是大势所趋。这时，形成一个严整的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了。而欧几里得和他的《几何原本》就在这样的时代背景之下应运而生。
欧几里得
虽然欧几里得的《几何原本》流传至今，但关于他本人的生平事迹我们却知之甚少，只能从后人的笔记中知晓一二，其中有两则小故事广泛流传：
一则说的是一个学生刚开始学习第一个命题，就问欧几里得学了几何之后将得到些什么。欧几里得对身边的侍从说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。”
另一则说的是一位国王问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答道："There is no royal road to geometry."，这一回答也成了西方传诵的名言。
《几何原本》全书十三卷，内容涵盖了初等平面几何，立体几何和部分数论。其通篇以23个定义和五条公设为基础，进行归纳演绎和推理，是一部结构完整，逻辑严谨 ，思维缜密的极致著作。其中五条公设的内容为：
1.过两点能作且只能作一直线；
2.线段可以无限地延长；
3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；
4.凡是直角都相等；
5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
五条公设中，前四条都简单明了，第五条稍显复杂，它的另一个表述为：通过已知直线外一已知点，能且仅能作一条直线与已知直线平行；或其反面推论为：两条平行直线永不相交。这一公理后人称之为第五公设或平行公设。
许多数学家都认为平行公设本身是成立的，但还没到公理，不证自明的程度。因而第五公设被看作是无懈可击的欧几里得公理体系中的白璧微瑕。所以历史上众多数学家挺身而出，要用欧几里得的其它几条公理证明第五公设。然而，无一例外，他们都以失败告终。
欧几里得之所以将其纳入公设的范畴，是因为他非常清楚这条定理是无法直接证明的。而这一现象一直持续了两千多年，直到19世纪中期，人们在探索和证明第五公设的道路上，发现了新大陆，即一个全新的几何体系的诞生。
现在我们知道，在黎曼几何中，两条平行线在曲率为1的平面上会在两端相交。同样，在曲率非零的平面上两点之间最短的距离也并非直线，三角形的三角之和也不等于180°，等等这些看似有悖于我们常识的新发现，都要归功于欧几里得两千多年前为我们埋下的一个伏笔。
非欧几何的诞生在数学史上是一个非常有意思的过程。参与人数众多，比较出名的有“数学王子”高斯，高斯学生时代的好友波尔约，波尔约的儿子亚诺什·波尔约，高斯的学生黎曼，以及俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。整个过程中高斯扮演了非常重要的角色，他是第一个发现非欧几何的人，但却没有公之于众。导致了他后来在处理其他人在非欧几何领域的发现时做出了一些有失偏驳的事，影响了非欧几何的进展。这也是高斯数学生涯中少有的败笔。
最后，值得一提的是，如果没有非欧几何，爱因斯坦就无法推演出广义相对论。
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